Texte sanskrit

Commentaire du xv^e siècle

Explications contemporaines

Exercice : À ce propos, par la mention : « et par suite, aussi la racine cubique », dite auparavant^{*Dans l'exemple donné pour le calcul du cube}, l'auteur produit un exemple pour cette formule.
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Les opérations avec zéro
Śūnyaparikarmāṇi

Règle : Dans une addition, zéro est égal à l'additif. Dans le carré, etc., il est zéro. Un nombre divisé par zéro sera « ce qui a pour diviseur zéro » ; multiplié par zéro, c'est zéro et « celui qui a pour multiplicateur zéro »  doit être présent à l'esprit, s'il y a une prescription de reste : zéro ayant été produit en tant que multiplicateur, si, à nouveau, zéro est diviseur, alors un nombre doit être simplement considéré comme inchangé, de la même manière exactement que diminué et augmenté de zéro.
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Exercice : Dis combien fait : zéro ajouté à cinq, le carré, la racine, le cube, la racine cubique de zéro et cinq multiplié par zéro et dix divisé par zéro. Qu'est-ce qui, multiplié par zéro, ajouté à sa propre moitié et multiplié par trois puis divisé par zéro, est soixante-trois ?
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La règle d'inversion
Vyastavidhi

Règle : Un nombre étant donné, pour le calcul de la quantité d'origine, on fera d'un diviseur un multiplicateur, d'un multiplicateur un diviseur, d'un carré une racine, d'une racine un carré, d'une dette un avoir, d'un avoir une dette.
Et, s'il est ajouté ou ôté une partie propre, le diviseur sera le diviseur augmenté ou diminué du numérateur, quant au numérateur il sera inchangé ; le reste est comme dit dans cette règle d'inversion.
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Exercice : Ô mon enfant au regard changeant ! Puisque tu connais l'opération d'inversion qui est sans faute, cette quantité qui est multipliée par trois, augmentée de trois de ses propres quarts, est ensuite divisée par sept puis, diminuée de son propre tiers, est multipliée par elle-même et diminuée de cinquante-deux, puis la racine étant augmentée de huit et divisée par dix, deux est produit, dis-la.
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Règle de supposition
Iṣṭakarmāṇi

Commentaire du xv^e siècle

Exercice : Quelle sera la quantité qui, multipliée par cinq, diminuée de son tiers, divisée par dix, augmentée du tiers, de la moitié et du quart de la quantité de départ, est soixante-dix diminué de deux ?
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Exercice : Dis rapidement le compte de la totalité des lotus de ce bouquet de lotus sans tache par lequel sont respectivement honorés, du tiers, du cinquième et du sixième, le dieu à l'œil triple (Śiva), Hari et Sūrya, Āryā avec son quart et les pieds du maître avec les six lotus restant.
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Exercice : Ô belle aux yeux de biche ! Le cinquième d'un essaim d'abeilles est allé sur un kadamba, le tiers sur un śilīndhra ; une autre partie, différence des deux multipliée par trois, se balançant, est allée sur un kuṭaja. Une abeille, ô ma chérie, qu'un même instant frappe du parfum d'une ketakī et d'une mālatī, appelée par l'envoyé de sa bien-aimée, tournoie de-ci de-là dans le ciel ; dis le compte de ces abeilles.
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Exercice : Si ta grandeur s'y entend en śeṣajātiḥ^{* Nom technique de ce type calcul : une succession de restes (śeṣa).}, dis le montant de la fortune de ce pèlerin qui en a offert la moitié à Prayāga et, du reste, deux parts sur neuf à Kāśī, le quart du reste pour des taxes sur le chemin et, du reste, six dixièmes à Gayā ; soixante-trois niṣka sont de reste et il est revenu à sa maison avec.
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Une règle alternative : La quantité donnée doit être divisée par le produit des dénominateurs diminués de leur numérateurs lequel est divisé par le produit des dénominateurs.
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Sommes et differences
Saṃkramaṇa Viṣamakarma

Règle : La somme enlevée et ajoutée à la différence, divisée par deux, sont les deux quantités ; ce rappel des quantités d'origine a pour nom saṃkramaṇa.
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Exercice : Dis-moi ces deux quantités desquelles la somme est cent un et la différence vingt-cinq, si, ô mon enfant ! tu connais le saṃkramaṇa.
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Règle : La différence des carrés divisée par la différence des quantités est leur somme ; de là, on obtient les deux quantités selon ce qui a été enseigné exactement.
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Exercice : Dis-moi ces deux quantités desquelles la somme est cent un et la différence vingt-cinq, si, ô mon enfant ! tu connais le saṃkramaṇa.
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Équations comportant des carrés et des racines carrées
Vargakarma et Mūlaguṇaka

Identité : Le carré d'une quantité arbitraire multiplié par huit, diminué de un, divisé par deux et divisé par la quantité arbitraire sera une des quantités ; son carré, divisé par deux et augmenté de un sera l'autre quantité. Ou bien, l'unité divisée par le double d'une quantité arbitraire ajoutée à la quantité arbitraire est la première, l'autre est l'unité. De ces deux quantités, la somme et la différence des carrés, diminuées de un, seront des carrés.
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Exercice : Mon ami ! Dis-moi deux quantités desquelles la différence et la somme des carrés diminuées de un sont productrices d'une racine, quand sont dans la peine même les experts dans le bījagaṇita^{* Traité d'algèbre} qui, désemparés, considérent ce calcul obscur enseigné de six manières !
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Identité : Le carré du carré d'une quantité choisie et son cube, tous deux multipliés par huit, le premier augmenté de un, seront les deux quantités. Il en est de même selon le calcul manifeste^{* Calcul élémentaire} comme selon le calcul non-manifeste^{** Calcul algébrique}.
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Exercice : Ici aussi, on produit l'exemple énoncé précédemment.
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Règle : La racine d'un nombre considéré — quantité qui a été diminuée ou augmentée de sa racine multipliée par un multiplicateur — ajouté au carré de la moitié du multiplicateur, est augmentée ou diminuée de la moitié du multiplicateur ; élevée au carré, elle devient la quantité cherchée par l'interrogateur.
Et quand cette quantité a été diminuée ou augmentée de parts, après avoir divisé la donnée et aussi le multiplicateur de la racine par l'unité diminuée ou augmentée des parts, la quantité doit être ensuite calculée avec ceux-ci, exactement comme cela a été dit auparavant.
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Exercice : Mon enfant ! J'ai vu sept fois la moitié de la racine d'un groupe de cygnes gagnant lentement la rive, fatigués par leur jeu et, se livrant une querelle amoureuse, un couple de cygnes reste dans l'eau ; dis la taille du groupe de cygnes.
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Exercice : Ajoutée à neuf fois sa racine, on aura douze cent quarante. Ô savant ! Veuille dire quelle est cette quantité.
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Exercice : À l'approche d'un nuage, dix fois la racine d'un groupe de cygnes s'en est allée vers le lac Mānasa après avoir pris son envol ; un huitième, quittant le bord de l'eau, est allé vers un bosquet de lotus terrestres et, mon enfant, sur l'eau aux filaments de lotus, adonnés au jeu de l'amour, on aperçoit trois couples de cygnes ; dis-moi le compte de la totalité du groupe.
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Exercice : Pārtha^{* Héros du Mahābhārata}, en colère, décocha une multitude de flèches au cours d'une bataille afin de tuer Karṇa. Après avoir arrêté l'ensemble des traits de ce dernier avec la moitié des siens, ses chevaux avec quatre fois la racine, il mit Śalya^{**Cocher de Karṇa} hors de combat avec six et, aussi, détruisit son parasol, sa bannière et son arc avec trois ; il lui coupa la tête d'une flèche ; combien sont-ils ces traits qu'Arjuna décocha ?
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Exercice : La racine de la moitié d'un essaim d'abeilles est allée sur une mālatī et aussi les huit neuvièmes de la totalité ; une abeille vrombit à l'adresse d'un bourdon qui bruit seul dans la nuit, gourmant de pollen et prisonnier d'un lotus. Ô ma chérie, dis le compte des abeilles.
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Exercice : La quantité qui, ajoutée à dix-huit fois sa racine et à son tiers, produit douze cents, reconnais-la rapidement, si tu possèdes de l'habileté sur l'ardoise.
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La règle de trois
Trairāśikam

Règle : Le critère et la quantité voulue sont deux quantités de même classe placées au début et à la fin ; le fruit de ce critère, d'une autre nature, est au milieu ; ce dernier multiplié par la quantité voulue et divisé par le premier sera le fruit de la quantité voulue. Pour l'inverse, procédure inverse.
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Exercice : Si deux pala et demi de safran sont obtenus avec trois-septièmes d'un niṣka, dis-moi rapidement, ô le meilleur des commerçants, combien on aura avec neuf niṣka ?
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Exercice : Si, avec soixante-trois pala de pur camphre, on obtient cent quatre niṣka, alors combien en obtient-on avec douze pala et un quart ? Ô mon ami, dis-le après avoir réfléchi !
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Exercice : Si pour deux drachmes on obtient une khārī et un huitième de grains de riz, combien en obtient-on pour soixante-dix paṇa ? Que cela soit dit rapidement !
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Règle de trois inverse : Si un accroissement de la quantité voulue produit une diminution pour le fruit et si une diminution produit un accroissement, dans ce cas, les experts en calcul doivent connaître la règle de trois inverse.
Quand le prix des êtres vivants est fondé sur l'âge ou quand, pour l'or, le poids dépend du nombre de carats ou pour le fractionnement des tas de grains, on utilisera la règle de trois inverse.
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Exercice : Si une femme de seize ans atteint une somme de trente-deux niṣka, combien pour une de vingt ans^{* Nous laissons à Bhāskara l'entière responsabilité de cet exemple !} ?
Un bœuf de trait de deux ans, atteint une somme de quatre niṣka, combien alors pour un animal de trait de six ans ?
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Exercice : Si on obtient un gadyāṇaka d'or à dix carats avec un niṣka, dis alors combien en mesure-t-on pour de l'or à quinze carats ?
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Exercice : Un tas de grains ayant été mesuré avec un récipient de sept, si on obtient cent mesures, combien en obtient-on alors avec un récipient de cinq ?
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Règles de cinq, sept, neuf et onze : Pour les règles de cinq, sept, neuf, etc. après avoir procédé à la transposition, d'un côté à l'autre, des fruits et des dénominateurs, le produit issu des quantités les plus nombreuses étant divisé par le produit des quantités les moins nombreuses, on a le résultat.
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Exercice règle de cinq : Si en un mois, pour cent unités, on a un intérêt de cinq, dis combien on a pour seize, une année étant écoulée. De même, énonce la durée d'après le capital et les intérêts et, connaissant la durée et le fruit, dis, ô calculateur, le capital d'origine ?
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Exercice règle de cinq : Si les intérêts pour cent unités pendant un mois et un tiers sont de cinq et un cinquième, que soit dit clairement combien ils seront pour soixante-deux unités augmentées d'un demi, pendant trois mois et un cinquième ?
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Exercice règle de sept : Si huit pièces d'étoffe tissées de soie, supérieures par leur apparence et multicolores, mesurant trois coudées de large et huit coudées de long, rapportent cent unités, dis, ô commerçant, si tu connais le négoce, combien rapporte une autre pièce d'étoffe de qualité semblable, de trois coudées et demi de long et d'une demie coudée de large ?
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Exercice règle de neuf : Des planches qui ont douze doigts d'épaisseur, le carré de quatre doigts en largeur et quatorze coudées pour leur longueur : trente rapportent cent. Ces mêmes planches dont les largeur, épaisseur et longueur ont été diminuées de quatre, dis-moi, ô mon cher quel montant elle rapportent.
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Exercice règle de onze : Les planches qui ont les dimensions dites précédemment ont été installées à une distance d'une gavyūti. Si, pour leur convoyage, la location de conducteurs de chariots est de huit drachmes, dis quel est le montant de la location pour ces autres décrites immédiatement après et qui ont été diminuées de quatre en dimensions et installées à une distance de six gavyūti ?
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Commentaire du xv^e siècle

Exercice pour le troc : Si ici, on obtient trois cents mangues pour une drachme et au marché trente grenades de choix pour un paṇa, dis rapidement, ô mon ami, combien de grenades on obtient dans un échange avec dix mangues ?
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Transactions des mélanges
Miśravyavahāra

Calculs d'intérêts

Règle : Le critère est multiplié par le temps de référence et le taux est multiplié par la durée de la composition, capital et intérêts ; puis les deux disposés séparément sont divisés par leur somme et multipliés par la composition : on aura le capital d'origine et les intérêts.
Ou bien alors, le capital d'origine est calculé par la formule nommée « règle de supposition » et, ce dernier ôté de la composition, on aura les intérêts.
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Exercice : Si, en une année, un montant d'origine à cinq pour cent produit mille, intérêts compris, dis alors, respectivement, l'origine et les intérêts.
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Règle : Leurs durées propres sont multipliées par les critères et divisées par les taux multipliés par leurs durées écoulées, ces résultats sont divisés par leur somme ; une fois multipliés par le montant composé, on a respectivement le montant des parts prêtées.
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Exercice : Ô calculateur, cent niṣka diminués de six ont été prêtés à cinq, trois et quatre pour cent en trois parts pendant sept, dix et cinq mois pour un même gain, dis le compte des parts et aussi le fruit pour ces trois parts.
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Règle : Si le taux mensuel d'une quantité inférieure est plus grand que le taux d'une quantité supérieure, la différence des deux quantités divisée par la différence des gains mensuels est la durée.
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Exercice : Une centaine d'unités sont prêtées à cinq pour cent et deux centaines à deux pour cent, le critère pour les fruits étant connu, au bout de quelle durée y aura-t-il un même accroissement ?
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Règle : Les apports en capital, multipliés par la composition, capital et intérêts, et divisés par leur somme sont les gains respectifs.
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Exercice : Ô calculateur, trois cents unités ont été obtenues en commerçant avec les montants composés, apports et bénéfices, de trois personnes dont les capitaux initiaux étaient de cinquante augmenté de un, soixante-huit et quatre-vingt-dix diminué de cinq. Dis la richesse de chacun après répartition.
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Remplissage d'un bassin

Règle : On divisera les dénominateurs par les numérateurs, puis on divisera l'unité par ces derniers résultats composés et on aura le temps de remplissage.

Exercice : Ces canaux qui, séparément ouverts, emplissent un bassin en un jour, une demi-journée, un tiers et un sixième de journée, quand ils sont ouverts tous ensemble, dis-moi rapidement, ô mon cher ! quelle fraction de jour leur est alors nécessaire ?
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Achat et vente

Règle : On divisera par les mesures les prix correspondants après les avoir multipliés par leur proportion respective ; après avoir multiplié par le montant composé et ces derniers et les proportions, on divisera par leur somme : on aura respectivement les prix et les mesures.
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Exercice : Holà commerçant ! Si, pour une drachme, on a trois mesures et demi de riz ou huit mesures de haricots, ayant accepté ces treize kākiṇī, apporte rapidement une double part de riz ajoutée à une part de haricots : nous allons manger immédiatement car la caravane va partir sur le champ.
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Exercice : Ô joie des commerçants ! Si pour un couple de niṣka on obtient un pala de camphre supérieur et pour un huitième de drachme, un pala de santal et pour un huitième aussi, un demi-pala de bois d'Agar, donne-moi pour un niṣka de ces ingrédients, dans des proportions de un, seize et huit, car je veux fabriquer un encens !
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Règle : Une quantité choisie étant divisée par les restes du nombre de joyaux une fois diminués des dons faits autant de fois qu'il y a de personnes, on aura alors les comptes des valeurs. Si le produit des restes est divisé par chacun d'eux pris séparément, on obtient des valeurs non-fractionnaires.
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Exercice : Quatre joailliers, dont la fortune s'élève à huit rubis, dix saphirs, une centaine de perles et cinq beaux diamants, s'étant mutuellement donné à chacun un joyau prélevé sur leur fortune personnelle au cours d'une rencontre amicale, obtiennent ainsi une même fortune ; dis-moi pour chacun, ô ma chère, la valeur de leurs joyaux.
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Alliages

Règle : La quantité somme des produits du poids de l'or et de son titre, étant divisée par la somme des poids d'or, on obtient le titre de l'alliage d'or ; divisé par le poids d'or raffiné, on aura le titre ; divisé par le titre, le compte du poids de l'or raffiné.
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Exercice : Le poids, en māṣa, de lingots d'or de titres treize, douze, onze et dix sont mesurés respectivement par dix, quatre, deux et quatre ; ceux-ci étant combinés, ô commerçant, toi qui connaît le calcul sur l'or, dis rapidement, quel sera le titre du lingot d'or ? Si, par raffinage, lesdits vingt māṣa deviennent seize, quelle est alors la mesure du titre de cette richesse ? Si l'or est raffiné au titre de seize, combien alors de māṣa ces vingt-là produisent-ils ?
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Règle : À partir du titre de l'alliage obtenu, multiplié par la somme des poids de l'or et diminué de la somme des produits des poids de l'or par leurs titres respectifs, le quotient par le compte du poids de l'or dont le titre est inconnu, sera la mesure du titre inconnu.
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Exercice : Soit huit et deux māṣa de titres dix et onze et six de titre inconnu : si on compose ceux-ci, de l'or au titre douze est obtenu, ô ma chère ! Dis la mesure du titre inconnu !
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Règle : Le titre issu de l'alliage, multiplié par la somme des poids de l'or, est diminué de la somme des produits des poids de l'or et des titres ; ce dernier résultat divisé par le reste de la différence entre le titre de l'or inconnu et le titre de l'alliage sera le poids de l'or que l'on ne connaît pas.
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Exercice : Soit trois et un māṣa de titres dix et quatorze ainsi qu'un certain poids de titre seize ; dans leur alliage un titre de douze est obtenu, combien y a-t-il alors de māṣa de titre seize ?
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Règle : Le titre le plus grand doit être diminué du titre de l'alliage de deux et le titre égal au titre de l'alliage de deux diminué du titre le plus petit, les deux restes, multipliés par un nombre arbitraire, seront les deux mesures des poids d'or, respectivement ceux des titres le plus petit et le plus grand.
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Exercice : Soient deux billes d'or dont les titres sont seize et dix ; dans leur alliage, ô ma chère, de l'or de titre douze est obtenu. Dis-moi la mesure des deux poids de ces deux ors.
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Progressions
Śreḍhivyavahāra

Progression arithmétique, règle : La raison multipliée par la position^{* Dernier entier dans la suite des entiers dont on calcule la somme.} diminuée de un et ajoutée au premier terme sera le montant du dernier ; ce résultat additionné au premier et divisé par deux sera le montant médian, lequel multiplié par la position sera le montant total et cela est appelé la somme de la progression.
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Exercice : Quelqu'un, après avoir donné à des brahmanes quatre drachmes le premier jour, a entrepris de faire une donation avec un accroissement de cinq chaque jour. Ô mon ami ! Dis immédiatement combien de drachmes ont été données par cet homme en une quinzaine ?
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Calcul de la raison, règle : Le montant divisé par la position est diminué du terme initial ; ceci divisé par la moitié de la position diminuée de un, sera l'accroissement.
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Exercice : Ce roi qui a, tout d'abord, couvert deux yojana en une journée, dis-nous, s'il te plait, avec quel accroissement de sa marche il a accompli par la suite son voyage pour ravir les éléphants de ses ennemis, cet intelligent roi ayant atteint en une semaine leur ville distante de quatre-vingt yojana ?
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Calcul du dernier terme, règle : À partir du fruit de la progression multiplié par deux fois l'accroissement et additionné au carré de la différence entre la moitié de l'accroissement et le terme initial, ils appellent position la racine de ce résultat diminuée du terme initial, augmentée de la même part de l'accroissement et divisée par l'accroissement.
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Exercice : Dis-nous rapidement en combien de jours trois cent soixante drachmes ont été versées à des brahmanes par celui qui, après avoir donné trois drachmes le premier jour, s'est engagé à donner un accroissement de deux drachmes par jour ?
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Exponentiation rapide et somme d'une progression géométrique, règle : Une position impaire étant diminuée de un, on pose « multiplicateur », paire, étant divisée par deux, on pose « carré ». Le résultat issu de l'opération « multiplicateur-carré » exécutée à l'envers, à partir du dernier et jusqu'à épuisement de la position, est diminué de un, divisé par l'accroissement multiplicatif diminué de un et multiplié par le terme initial, ce sera le total pour un accroissement multiplicatif.
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Exercices : Combien de niṣka a-t-il donné à un mendiant pendant un mois, celui qui a initialement donné un couple de varāṭaka et promis un accroissement du double chaque jour ?
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