Deuxième idée-force: géométrique

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J.W. Tukey

DEUXIEME IDEE-FORCE : GEOMETRIQUE

La géométrie, reine des mathématiques au temps jadis (où "géomètre" était synonyme de "mathématicien", avec le raisonnement "more geometrico"), en est aujourd'hui la parente pauvre. Dans le mainstream de la statistique, les "pictorial representations" ont le statut de croquis sans valeur démonstrative, les seules démonstrations reconnues étant celles de l'approche numérique ou matricielle. Voir Critique de l'approche matricielle.

L'idée-force géométrique consiste à reconnaître la spécificité de la géométrie: les objets géométriques peuvent être décrits par des nombres; ils ne sont pas réductibles à des nombres. Un vecteur géométrique (écart entre points) ne réduit pas à la suite de ses coordonnées (cf. l'épigraphe de Tukey); un nuage de points ne se réduit pas à un tableau de nombres.
Entre le "qualitatif" et le "quantitatif", il y a la géométrie.

Au sens strict, nous parlons d'approche géométique de la statistique lorqu'une distance eucliclienne est posée sur une ensemble formalisé en tant qu'espace de points. Le paradigme de l'approche géométrique est l'Analyse des Correspondances, où l'idée géométrique est première, avec la construction d'un modèle géométrique des données sous forme de nuages de points. Voir Analyse Géométrique des Données, en particulier Analyse des Correspondances Multiples, où la distance euclidienne est posée sur un ensemble d'individus.

Au sens large, l'idée-force géométrique renvoie à la formalisation linéaire, dans la mesure où toute théorie linéaire peut faire l'objet d'une représentation géométrique. La "géométrisation du linéaire" (pour reprendre l'heureuse formule de R. Bkouche) permet de transférer à la fois les intuitions spatiales de la géométrie élémentaire et la rigueur du raisonnement mathématique.

Dans mes travaux, l'idée-force géométrique a toujours été sous-jacente, en particulier dans le domaine de l'Analyse de Variance. Elle a été bien entendu au premier plan dans les recherches sur l'Analyse Géométrique des Données; elle s'est révélée particulièrement féconde dans les travaux récents sur la régression.